Capitulo 30 Fuerza y momentos de torsión en un campo eléctrico

Hemos visto que un campo eléctrico puede producir un campo magnético. En este capítulo estudiaremos
que el proceso inverso también es cierto: un campo magnético puede generar un campo
eléctrico. Una corriente eléctrica se genera mediante un conductor que tiene un movimiento
relativo respecto a un campo magnético. Una bobina giratoria en un campo magnético induce
una fem alterna, la cual origina una corriente alterna ea), A este proceso se le llama inducción
electromagnética y es el principio de operación en el cual se basan muchos dispositivos eléctricos.
Por ejemplo, los transformadores y generadores eléctricos de ea aprovechan la inducción
electromagnética para producir y distribuir energía eléctrica en forma económica.

Objetivos

Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno:

1. Determinará la dirección de la fuerza magnética sobre un conductor por el que circula una corriente en un campo B conocido.

2. Escribirá y aplicará ecuaciones para calcular el momento de torsión magnético de una bobina o de un solenoide cuyas áreas, número de espiras y corrientes se conocen, al ser colocados en un campo magnético de densidad de flujo que también se conoce.

3. Explicará con esquemas la función de cada parte de un galvanómetro de laboratorio y describirá cómo puede convertirse en un amperímetro y en un voltímetro.

4. Calculará la resistencia multiplicadora necesaria para incrementar los límites de un voltímetro de corriente directa (cd) que contiene un galvanómetro de sensibilidad constante.

5. Calculará la resistencia en derivación necesaria para incrementar la amplitud de un galvanómetro o de un amperímetro de sensibilidad constante.

6. Explicará el funcionamiento de un motor de corriente directa (cd) simple y analizará la función de cada una de sus partes prestando atención especial al conmutador de anillo partido.

Fuerza y momentos de torsión en un campo magnético

Hemos visto que al colocarlo en un campo magnético, un conductor por el que circula corriente experimenta una fuerza perpendicular tanto a la corriente (l) como a la inducción magnética (B). Una bobina suspendida en un campo magnético experimenta sobre sus costados un momento de torsión debido a fuerzas magnéticas equivalentes y de sentidos opuestos. En este capítulo estudiaremos el galvanómetro, el voltímetro, el amperímetro y el motor de corriente directa como aplicaciones de las fuerzas electromagnéticas.

Fuerza y momento de torsión en una espira

Un conductor por el que circula corriente suspendido en un campo magnético (véase la figura 30.1) experimentará una fuerza magnética dada por

Figura 30.1 La fuerza ejercida sobre un conductor por el que circula corriente tiene una dirección perpendicular al campo magnético, la cual está dada por la regla del tornillo de rosca derecha .

Ahora examinemos las fuerzas que actúan sobre una espira rectangular por la que fluye una corriente y que se encuentra suspendida en un campo magnético, como se muestra en la figura 30.2. La longitud de los lados son a y b, y la corriente l circula por la espira como ahí se indica. (No se muestra la fuente de fem ni los conductores por donde llega la corriente para simplificar.) Los lados mn y op de la espira tienen una longitud a perpendicular a la inducción magnética B. Por tanto, sobre los lados actúan fuerzas de igual magnitud y de sentido opuesto.

La fuerza se dirige hacia arriba para el segmento mn y hacia abajo para el segmento op.

Figura 30.2 Fuerzas magnéticas sobre una espira por la que circula corriente.

Figura 30.3. Calculo del momento de torsión sobre una espira por la que fluye corriente.

Con un razonamiento similar se demuestra que en los otros dos lados también actúan fuerzas iguales y opuestas, las cuales tienen una magnitud de

Donde  IX es el ángulo que los lados np y mo forman con el campo magnético.

Es evidente que la espira se encuentra en equilibrio de traslación, puesto que la fuerza resultante sobre ella tiene un valor de cero. Sin embargo, las fuerzas no concurrentes sobre los lados de longitud a producen un momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina en el sentido de las manecillas del reloj. Como se observa en la figura 30.3, cada fuerza produce un momento de torsión igual a

                                                                                                                             

En virtud de que el momento de torsión es igual al doble de este valor, el momento de torsión resultante puede determinarse a partir de

                                                                                                                               (30.3)

Puesto que a  X b es el área A de la espira, la ecuación (30.3) puede escribirse como

                                                                                                                                              (30.4)

Observe que el momento de torsión es máximo cuando IX = 0°, esto es, cuando el plano de la espira es paralelo al campo magnético. Cuando la bobina gira alrededor de su eje, el ángulo IX crece, con lo que se reduce el efecto rotacional de las fuerzas magnéticas. Cuando el plano de la espira es perpendicular al campo, el ángulo IX = 90° Yel momento de torsión resultante es cero. La cantidad de movimiento de la bobina hará que ésta rebase ligeramente este punto; sin embargo, la dirección de las fuerzas magnéticas asegurará su oscilación hasta que alcance el equilibrio con el plano de la espira perpendicular al campo. Si la espira se reemplaza con una bobina devanada en forma muy compacta, con N espiras de alambre, la ecuación general para calcular el momento de torsión resultante es

                                                                                                                                              (30.5)

Esta ecuación se aplica a cualquier circuito completo de área  A y su uso no se restringe a espiras rectangulares. Cualquier espira plana obedece la misma relación.

EJEMPLO 30.1

Una bobina rectangular formada por 100 espiras de alambre tiene un ancho de 16cm y una longitud de 20 cm. La bobina está montada en un campo magnético uniforme de densidad de flujo de 8 mT, y una corriente de 20A circula por el devanado. Cuando la bobina forma un ángulo de 30° con el campo magnético, ¿cuál es el momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina?

Solucion: sustituyendo  en la ecuacion (30.5) se obtiene

30.2 Momento de torsion magnetico sobre un selonoide.

La relación expresada por la ecuación (30.5) se aplica para calcular el momento de torsión sobre un solenoide de área A que tiene N vueltas de alambre. Sin embargo, al aplicar esta relación debemos recordar que el ángulo a es el que cada espira de alambre forma con el campo. Es el complemento del ángulo () entre el eje del solenoide y el campo magnético (véase la figura 30.4). Por tanto, otra ecuación para calcular el momento de torsión de un solenoide sería:

Compruebe que sen 0 es igual a cos a observando la figura.

La acción del solenoide en la figura 30.4 también se puede explicar en términos de polos magnéticos. Aplicando la regla del pulgar de la mano derecha a cada espira de alambre se demuestra que el solenoide actuará como electroimán, con polos norte y sur como se indios en la figura.

Figura 30.4 Momento de torsión magnético sobre un solenoide. El ángulo a es el que forma cada espira de alambre con el campo B. El ángulo ¨e¨ es el que se halla entre el eje del solenoide y ese mismo campo. Recuerde que 0  + a + 90°.

30.3  El galvanometro

Cualquier dispositivo usado para medir una corriente eléctrica se llama galvanómetro. Funciona a partir del principio según el cual el momento de torsión magnética es proporcional a la corriente. Las partes esenciales se muestran en la figura 30.5a. Una bobina de alambre, arrollada en tomo de un núcleo de hierro dulce, se apoya sobre cojinetes hechos de alguna piedra preciosa, y se coloca entre los polos de un imán permanente. Su movimiento rotacional está restringido por un par de resortes en espiral, que sirven también como conductores de la corriente a la bobina. De acuerdo con la dirección de la corriente que se va a medir, la bobina y la aguja indicadora girarán en dirección en favor o en contra del avance de las manecillas del reloj. Los imanes permanentes se modelan para suministrar un campo radial uniforme de modo que el momento de torsión sea directamente proporcional a la corriente que hay en la bobina. La sensibilidad de un galvanómetro queda determinada por el momento de torsión del resorte, la fricción de los cojinetes y la intensidad del campo magnético. Una sensibilidad común puede ser de escalas de división de 50 }.LA. En general, la posición cero de la escala se ubica en el centro, como se observa en la figura 30.5b. En ciertas aplicaciones, el galvanómetro puede utilizarse como un voltímetro de cd y como un amperímetro de cd, y es magnífico para estudiar circuitos de laboratorio que contribuyen a reforzar nuestros conocimientos de las relaciones que hay entre la corriente, el voltaje y la resistencia. En las secciones 30.4 y 30.5 se ofrece una explicación pormenorizada de esas aplicaciones, junto con una exposición de cómo es posible cambiar los límites de ese instrumento.

Figura 30.5 El galvanómetro de laboratorio. La posición de equilibrio (para una corriente igual a cero) es tal que la aguja indicadora se ubica en el centro, de modo que la desviación puede ocurrir hacia cualquier lado.

Sin embargo, cabe señalar que los aparatos digitales son más precisos y menos complicados que los antiguos dispositivos analógicos. Son varias las ventajas que brindan estos instrumentos. Los medidores digitales incluyen una batería para encender las pantallas, así que extraen una corriente despreciable del circuito en comparación con los basados en galvanómetros. Cuando se emplean para medir el voltaje, los aparatos digitales pueden ofrecer una resistencia enorme, en general del orden de 10 Mil, lo que implica que el circuito no se alterará de manera significativa. Por añadidura, se elimina el problema que surge cuando un galvanómetro se sujeta mal. El dispositivo digital se limita a indicar un valor negativo para una polaridad y otro positivo para la otra.

30.4 El voltimetro de cd

Un voltímetro es un instrumento que se usa para medir la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. En esta sección indicaremos cómo puede usarse un galvanómetro analógico para el mismo propósito. La diferencia de potencial a través del galvanómetro es muy pequeña, incluso cuando se produce una desviación grande en el instrumento. Por tanto, si se usa un 'galvanómetro para medir voltajes, éste debe convertirse en un instrumento de alta resistencia. Suponga que se desea medir la caída de voltaje a través de la batería de la figura 30.6. Este voltaje debe medirse sin perturbar en forma apreciable la corriente que fluye por el circuito. Dicho de otro modo, el voltímetro debe tomar una corriente insignificante. Para lograrlo, se coloca una resistencia multiplicadora R_m en serie con el galvanómetro como una parte integral del voltímetro de cd.

Observe que el galvanómetro que se utiliza en el voltímetro se ajusta de modo que su posición de equilibrio se encuentre en el extremo izquierdo de la escala. Esto permite tener un mayor límite en la escala, pero lamentablemente requiere que la corriente pase a través de la bobina en una sola dirección. La sensibilidad del galvanómetro se determina por la corriente I_g necesaria para una desviación de toda la escala (desviación máxima de la aguja), como g aparece en la figura 30.6.

Suponga que la bobina del galvanómetro tiene una resistencia R_g y que la escala se diseña para acabar la desviación de la escala completa debida a la corriente I_g. Un  galvanómetro así, actuando solo, puede calibrarse para registrar voltajes desde cero hasta un valor máximo expresado por:

Si se elige la resistencia multiplicadora R_m apropiada, es posible calibrar la escala para leer cualquier voltaje deseado. Suponga que se desea una desviación de toda la escala del voltímetro para el voltaje V_B como se indica en la figura 30.6. La resistencia multiplicadora R_m debe elegirse de modo que sólo una pequeña corriente, I_g, pase por el galvanómetro. En estas condiciones,

Al resolver  para R_m  se obtiene 

Por tanto, se observa que la resistencia multiplicadora R_m es igual a la resistencia total del aparato, V_B/I _g menos la resistencia del galvanómetro, R_g .

Ejemplo  30.2

Un galvanómetro tiene una resistencia interna de 30 ny se desvía toda la escala con una corriente de 1 rnA. Calcule la resistencia multiplicadora necesaria para convertir este galvanómetro en un voltímetro cuyo límite máximo es de 50 V.

Plan: La resistencia multiplicadora R_m debe ser tal que la caída total del voltaje a través

de R_g  y de R_m sea igual a 50 V.

Solución: A partir de la ecuación (30.8) se obtiene

Observe que la resistencia total del voltímetro (R + R ) es de 50 K _( )_

Un voltímetro se debe conectar en paralelo con la parte del circuito cuya diferencia de potencial se va a medir. Esto es necesario para que la gran resistencia del voltímetro no altere en forma significativa al circuito.

30.5 El amperimetro de cd

Un amperímetro es un dispositivo que, a través de escalas calibradas, da indicaciones de la corriente eléctrica sin alterada de forma ostensible. Un galvanómetro es un amperímetro, pero sus límites son limitados debido a la gran sensibilidad de la bobina móvil. Los límites del galvanómetro puede ampliarse fácilmente, pues basta añadir una resistencia pequeña, llamada derivación, en paralelo con la bobina del galvanómetro (véase la figura 30.7). Al colocar la derivación en paralelo se asegura que el amperímetro considerado en conjunto tenga una resistencia baja, lo cual es necesario para que la corriente no se altere de modo considerable. De este modo, la mayor parte de la corriente I_g  pasará por la derivación. Solamente se requiere tomar una pequeña corriente 1 del circuito para desviar la aguja del galvanómetro. Por ejemplo, si pasan 10 A por un amperímetro, entonces pasarán 9.99 A por la derivación y sólo 0.01 A por la bobina.

Suponga que los límites de la escala de un galvanómetro permiten medir una corriente máxima I en el circuito mostrado en la figura 30.8. Debe elegirse una resistencia en derivación R_s de modo que sólo la corriente I_g ,necesaria para la desviación de toda la escala, pase por la derivación.  Puesto que R_g y R_g , están en paralelo, la caída de IR a través de la resistencia debe ser idéntica:

La corriente a través de la derivación I_g es la diferencia entre la corriente  I del circuito y la corriente I_g  del galvanómetro. Entonces, la ecuación (30.9) se vuelve:

Si se despeja para la resistencia en derivación R_s se obtiene la siguiente relación útil:

Ejemplo 30.3

Un galvanómetro tiene una resistencia interna en la bobina de 46 _( )_, y se requiere una corrientee 200 mA para que la aguja se desvíe toda la escala. ¿Qué resistencia en derivación debe usarse para convertir el galvanómetro en un amperímetro cuyo intervalo máximo sea de lO A?

Solución: La ecuación (30.10) nos da:

Es importante recordar que un amperímetro debe estar conectado en serie con la parte del circuito a través del cual se desea medir la corriente. El circuito debe abrirse en un punto conveniente para insertar allí el amperímetro. Si por equivocación se conecta el amperímetro en paralelo, se producirá un cortocircuito a través de él, puesto que su resistencia es extremadamente baja.

30.6 El motor de cd

Un motor eléctrico es un dispositivo que transforma la energía eléctrica en energía mecánica.  El motor de cd, como la bobina móvil de un galvanómetro, consta de una bobina por la que fluye corriente colocada dentro de un campo magnético. Sin embargo, el movimiento de la bobina en el motor no está restringido por resortes. El diseño permite que la bobina gire continuamente bajo la influencia de un momento de torsión magnético. Un motor sencillo de cd está formado por una sola espira, suspendida entre dos polos magnéticos, por la cual circula una corriente, como se indica en la figura 30.8. Normalmente, el momento de torsión ejercido sobre la espira por la que fluye corriente disminuye hasta llegar a cero cuando su plano llega a ser perpendicular al campo magnético. Para que sea posible la rotación continua de la espira, la corriente que circula por ella ha de invertirse automáticamente cada vez que la espira gira 180°

  Se logra invertir la corriente usando un conmutador de anillo partido, como se muestra en la figura 30.9. El conmutador consta de dos semi anillos seccionados, cada uno de los cuales está conectado a cada extremo de la espira y aislados entre sí. A medida que la espira gira, cada escobilla toca primero una mitad del anillo y luego otra. Por consiguiente, las conexiones eléctricas se invierten a la mitad de cada revolución en el momento en que la espira queda en posición perpendicular al campo magnético. De esta forma, el momento de torsión que actúa sobre la espira tiene siempre la misma dirección, y la espira girará continuamente.

Aunque en realidad los motores de cd funcionan de acuerdo con el principio descrito en la figura 30.8, hay algunos diseños que incrementan el momento de torsión aprovechable y lo hacen más uniforme. Uno de esos diseños se presenta en la figura 30.9. Es posible crear un campo magnético mayor reemplazando los imanes permanentes con electroimanes. Además, el momento de torsión puede ser mayor y más uniforme si se añaden algunas bobinas diferentes, cada una de ellas con gran número de espiras devanadas alrededor de un núcleo de hierro con hendeduras, llamado armadura. El conmutador es un interruptor automático que mantiene lascorrientes en las direcciones mostradas en la figura, independientemente de la orientación de la armadura. En el capítulo siguiente se estudiarán con más detalle los motores de cd.

Resumen y repaso

Resumen

El momento magnético de las espiras por las que circula una corriente constituye la base de tantas aplicaciones que es esencial tener conocimientos básicos firmes al respecto. El funcionamiento de los generadores, motores, amperímetros, voltímetros y muchos instrumentos industriales se ve afectado directamente por las fuerzas y los momentos de torsión magnéticos. A continuación se resumen los principales conceptos que conviene recordar.

• El momento de torsión magnético sobre una bobina de alambre que conduce corriente y tiene N vueltas de alambre está dado por

Donde:

Ø  N= es el numero de vueltas del alambre

Ø  B= densidad del flujo

Ø  I =corriente A

Ø  A = area de la bobina d alambre m²

Ø  a= angulo que forma el plano de la bobina con el campo

• La misma ecuación puede aplicarse en el caso de un solenoide, excepto en que el ángulo a se sustituye generalmente por e, que es el ángulo que forma el eje del solenoide con el campo.

• La resistencia multiplicadora R_m, que se debe conectar en serie con un voltímetro para permitir la desviación de toda la escala para V_B se calcula mediante

l es la corriente del galvanómetro y  R _g  es su resistencia.

• La resistencia en derivación R_s que debe conectarse en paralelo con un amperímetro para tener una desviación de toda la ecala para una corriente I es 

Conceptos claves

Amperímetro 594

Armadura 596

Conmutador de anillo dividido 595

Derivación 594

Desviación de toda la escala 593

Galvanómetro 592

Momento de torsión magnético 592

Motor de cd 595

Motor eléctrico 595

Resistencia en derivación 594

Resistencia multiplicadora 593

Sensibilidad 592

Voltímetro 593

Preguntas de repaso

30.1. Las fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto que actúan sobre una espira con corriente en un campo magnético forman lo que se conoce como un par de fuerzas. Demuestre que el momento de torsión resultante sobre un par de fuerzas de ese tipo es el producto de una de las fuerzas por la distancia perpendicular

30.2. ¿Por qué es necesario proporcionar un campo magnético radial a la bobina del galvanómetro?

30.3. Una bobina de alambre está suspendida de un hilo, de modo que el plano de las espiras coincida con el plano de la página. Si la bobina se coloca dentro de un campo magnético cuya dirección es de izquierda a derecha y si se hace circular por la bobina una corriente en el sentido de las manecillas del reloj, describa cuál será su movimiento.

30.4. ¿En qué se asemeja el funcionamiento de un galvanómetro al de un motor? ¿En qué se diferencian?

30.5. ¿De qué forma influye el núcleo de la bobina de un galvanómetro en la sensibilidad del instrumento?

30.6. Explique en qué consiste el momento de torsión ejercido sobre un imán de barra suspendido en un campo magnético, sin referirse a los polos magnéticos. Comente, desde el punto de vista atómico, cómo el momento de torsión observado puede surgir por la misma causa que el momento de torsión en una espira por la que fluye corriente.

30.7. Suponga que se desea incrementar en N veces los límites de la escala de un amperímetro. Demuestre que la resistencia en derivación que debe colocarse entre las terminales del amperímetro se calcula mediante

Donde R_a es la resistencia del amperímetro.

30.8. Suponga que los límites de la escala de un voltímetro van a incrementarse N veces. Demuestre que la resistencia multiplicadora que habrá de conectarse en serie con el voltímetro se calcula mediante

30.9. Demuestre por medio de diagramas cómo deben conectarse un amperímetro un voltímetro en un circuito. Compare las resistencias de los aparatos.

30.10. Comente sobre el error que se produce cuando un amperímetro es insertado en un circuito eléctrico. ¿Cómo se reduce ese error?

30.11. Comente acerca del error ocasionado por la inserción de un voltímetro en un circuito. ¿Cómo se reduce este error?

30.12. Se conecta un voltímetro a una batería y se efectúa la lectura. Una caja de resistencias de precisión se incorpora entonces al circuito y se ajusta hasta que la lectura del voltímetro muestra la mitad del valor que la lectura anterior. Demuestre que la resistencia del voltímetro debe ser igual a la resistencia añadida. (Esto se conoce como el método de la desviación media para determinar la resistencia de un voltímetro.)

30.13. Explique qué sucede cuando, por error, se conecta en serie un voltímetro en un circuito. ¿Qué ocurre cuando un amperímetro se conecta erróneamente en paralelo?

30.14. Escriba un resumen breve sobre los temas siguientes:

a. galvanómetro balístico

b. óhmetro

c. dinamómetro

d. voltímetro

30.15. Trace una gráfica que muestre el momento de torsión en función del tiempo para un motor de cd de una sola espira.

Problemas

Sección 30.1 Fuerza momento de torsión sobre una espira

30.1. Una espira rectangular de alambre tiene un área de 30 cm² y  está colocada de modo que su plano sea paralelo a un campo magnético de 0.56 T. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión resultante si la espira conduce una corriente de 15 A?

Resp. 0.0252 N. m

30.2. Una bobina de alambre tiene 100 vueltas, cada una con un área de 20 cm-. La bobina puede girar libremente dentro de un campo de 4.0 T. ¿Cuánta corriente se requiere para producir un momento de torsión máximo de 2.30 N . m?

30.3. Una espira rectangular de alambre de 6 cm de ancho 10 cm de largo se coloca de modo que su plano sea paralelo a un campo magnético de 0.08 T. ¿ Cuál es la magnitud del momento de torsión resultante sobre la espira si ésta conduce una corriente de 14.0 A?

Resp. 6.72 x10- 3 N . m

30.4. Una espira rectangular de alambre tiene un área de 0.30 m². El plano de la espira forma un ángulo de 30° con un campo magnético de 0.75 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si la corriente es de7.0A?

30.5. Calcule la densidad de flujo magnético necesaria para impartir un momento de torsión de 0.5 N . m a una bobina de 100 vueltas cuando su plano es paralelo al campo. El área de cada vuelta es de 84 cm- y la corriente de 9.0 A.

 Resp. 66.1 mT

30.6. ¿Cuánta corriente se necesita para producir un momento de torsión máximo de 0.8 N . m en un solenoide que tiene 800 vueltas de 0.4 m2 de área? La densidad de flujo es de 3.0 mT. ¿Cuál es la posición del solenoide dentro del campo?

30.7. El eje de un solenoide que tiene 750 vueltas de alambre forma un ángulo de 34° con un campo de 5 mT. ¿Cuál es la corriente si el momento de torsión es de 4.0 N· m en ese ángulo? El área de cada vuelta de alambre es de 0.25 m2

Resp. 7.63 A

Sección 30.3 El galvanómetro, Sección 30.4 El voltímetro de cd y Sección 30.5 El amperímetro

30.8. La bobina de un galvanómetro de 50 mm X 120 mm está montada dentro de un campo magnético radial constante de 0.2 T. Si la bobina tiene 600 vueltas, ¿cuánta corriente se necesita para desarrollar un momento de torsión de 3.6 X 10- 5 N m?

30.9. Un galvanómetro tiene una sensibilidad de 20 ¡.por cada división de la escala. ¿Cuánta corriente se requiere para producir una desviación de toda la escala del instrumento, con 25 divisiones a cada lado de la posición de equilibrio?

 Resp. 500

 30.10. Un galvanómetro tiene una sensibilidad de 15 ¡.por cada división de la escala. ¿Cuántas divisiones de la escala quedarán cubiertas por la desviación de la aguja cuando la corriente sea de 60 ¡.LA?

30.11. Un voltímetro requiere 0.02 mA para tener una desviación de toda la escala a 50 V. (a) ¿Cuál es la resistencia del voltímetro? (b) ¿ Cuál es la resistencia por volt?

 Resp. 2.50 Mfl, 50 kfllV

*30.12. En el caso del voltímetro del problema 30.11, ¿qué resistencia multiplicadora debe usarse para convertir ese aparato en un instrumento capaz de leer una escala completa de 150 V?

*30.13. La bobina de un galvanómetro se quema si circula por ella una corriente mayor de 40 mA. Si la resistencia de la bobina es 0.5 n, ¿qué resistencia en derivación será necesario agregar para permitir la medición de 4.00 A?

Resp. 5.05 mn

*30.14. Una corriente de sólo 90 producirá una desviación de toda la escala en un voltímetro diseñado para una lectura de 50 mV en toda su escala. (a) ¿Cuáles la resistencia del aparato? (b) ¿Qué resistencia multiplicadora se requiere para permitir la medición de 100 mV en toda la escala?

*30.15. Un amperímetro que tiene una resistencia de 0.10 n se conecta a un circuito e indica una corriente de 1OA en toda la escala. Entonces se conecta una derivación que tiene una resistencia de 0.01 na través de las terminales del instrumento. ¿Cuánta corriente deberá conducir el nuevo circuito para producir una desviación de toda la escala en el amperímetro?

Preguntas de reflexión  critica

30.29. Considere la espira rectangular de 60 vueltas de alambre de 4 por 6 cm de la figura 30.10. El plano de la espira forma un ángulo de 40° con un campo magnético B de 1.6 T cuya dirección coincide con el eje x. La espira puede girar libremente sobre el eje y la corriente que circula por la bobina en el sentido de las manecillas del reloj es de 6.0 A. ¿Cuál es el momento de torsión y girará la espira hacia el eje x o hacia el eje z?

Resp. 1.06 N m, hacia el eje z

*30.30. Un voltímetro con una escala máxima de 150 V Y resistencia total de 15000 O está conectado en serie con otro voltímetro de escala máxima 100 V Y resistencia total de 20 000 O. ¿Qué lectura mostrará cada uno de esos instrumentos cuando se conecten a través de una batería de 120 V Y resistencia interna insignificante?

*30.31. El momento magnético es una cantidad vectorial que, en el caso de una bobina de N vueltas de área A, tiene una magnitud dada N/A, donde I es la corriente que pasa por la bobina. La dirección del momento magnético es perpendicular al plano de la bobina en la dirección determinada mediante la regla de la mano derecha (véase la figura 29.20). Si esa bobina se introduce en un campo B uniforme, demuestre que el momento de torsión tiene una magnitud dada por:

Esto se escribe a veces como un producto vectorial (cruz) 'T= ¡.t X B.

*30.32. Compruebe la respuesta obtenida para el problema30.19, aplicando la fórmula deducida en la pregunta anterior. No confunda el ángulo () con el ángulo a que el plano de la espira forma el campo B.

*30.33. El cableado interno de un voltimetro de tres escalas se ilustra en la figura 30.11. El galvanómetro tiene una resistencia interna de 40 O y una corriente de 1.00 rnA produce una desviación de toda la escala. Encuentre las resistencias R¡, Rz R3 que permitan usar el voltímetro para 10, 50 Y 100 V.

Resp. 9960 O, 49 960 O, 99 960 O

Capitulo 29 MAGNETISMO Y CAMPO MAGNETICO.

Objetivos

Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno:

1. Demostrará, mediante definiciones y ejemplos, su comprensión acerca de estos temas: magnetismo, inducción, retentividad, saturación y permeabilidad.

2. Escribirá y aplicará una ecuación que permita relacionar la fuerza magnética sobre una carga en movimiento, con su velocidad, su carga y su dirección, en un campo conocido de densidad de flujo magnético.

3. Determinará la fuerza magnética sobre un alambre conductor de corriente colocado en un campo conocido B.

4. Calculará la densidad de flujo magnético (a) a una distancia conocida del alambre conductor de la corriente, (b) en el centro de una espira de corriente o bobina y (c) en el interior de un solenoide.

En capítulos anteriores hemos visto que las cargas eléctricas ejercen fuerzas entre sí. En este capítulo se estudiarán las fuerzas magnéticas. Una fuerza magnética se puede originar por la presencia de cargas eléctricas en movimiento, y una fuerza eléctrica se puede generar a causa de un campo magnético en movimiento. El funcionamiento de motores eléctricos, generadores, transformadores, interruptores, televisores, receptores de radio y la mayoría de los medidores eléctricos depende de la relación entre fuerzas eléctricas y magnéticas. Iniciaremos este capítulo estudiando los efectos magnéticos asociados con los materiales y terminaremos analizando los efectos magnéticos producidos por las cargas en movimiento.

29.1 MAGNETISMO.

Los primeros fenómenos magnéticos observados se relacionaron con fragmentos de piedra de imán o magnetita (un óxido de hierro) encontrada cerca de la antigua ciudad de Magnesia hace aproximadamente 2000 años. Se observó que estos imanes naturales atraían pequeños trozos de hierro no magnetizado. Esta fuerza de atracción se conoce como magnetismo, y al objeto que ejerce una fuerza magnética se le llama imán.

Si una barra imantada se introduce en un recipiente que contenga limaduras de hierro y enseguida se retira, se aprecia que los minúsculos fragmentos de hierro se adhieren más fuer­

Si una barra imantada se introduce en un recipiente que contenga limaduras de hierro y enseguida se retira, se aprecia que los minúsculos fragmentos de hierro se adhieren más fuertemente a las áreas pequeñas cercanas a los extremos. Estas regiones donde parece concentrarse la fuerza del imán se llaman polos magnéticos. A las áreas pequeñas cercanas a los extremos. Estas regiones donde parece concentrarse la fuerza del imán se llaman polos magnéticos.

Cuando cualquier material magnético se suspende de un cordel, gira alrededor de un eje vertical. El extremo que apunta hacia el Norte se llama el polo norte (N) del imán. Su opuesto, el extremo que ve al sur se llama polo sur (S) del imán. La polarización del material magnético es lo que cuenta para su aprovechamiento como brújula para la navegación. La brújula consiste en una aguja ligera imantada que se apoya sobre un soporte con poca fricción.

Se puede demostrar fácilmente que los polos norte y sur del imán son diferentes. Cuando  se acerca al imán suspendido por la cuerda otra barra imantada, los dos polos norte o los dos polos sur se repelen entre sí, mientras que el polo norte de uno y el polo sur de otro se atraen mutuamente.

La ley de la fuerza magnética establece que:

Polos magnéticos iguales se repelen y polos magnéticos diferentes se atraen.

No existen polos aislados. No importa cuántas veces se rompa un imán por la mitad, cada pieza resultante será un imán, con un polo norte y un polo sur. No se conoce una sola partícula que sea capaz de crear un campo magnético de manera similar a como un protón o electrón crean un campo eléctrico.

La atracción que ejercen los imanes sobre el hierro no magnetizado y las fuerzas de interacción que surgen entre los polos magnéticos actúan a través de todas las sustancias. En la industria, los materiales ferrosos que han sido desechados y se arrojan a la basura pueden separarse para reutilizarlos por medio de imanes.

29.2 CAMPOS MAGNETICOS

Todo imán está rodeado por un espacio, en el cual se manifiestan sus efectos magnéticos. Dichas regiones se llaman campos magnéticos. Así como las líneas del campo eléctrico fueron útiles para describir los campos eléctricos, las líneas de campo magnético, llamadas líneas de flujo, son muy útiles para visualizar los campos magnéticos. La dirección de una línea de flujo en cualquier punto tiene la misma dirección de la fuerza magnética que actuaría sobre un polo norte imaginario aislado y colocado en ese punto. De acuerdo con esto, las líneas de flujo magnético salen del polo norte de un imán y entran en el polo sur. A diferencia de las líneas de campo eléctrico, las líneas de flujo magnético no tienen puntos iniciales o finales; forman espiras continuas que pasan a través de la barra metálica. Las líneas de flujo en la región comprendida entre dos polos iguales o diferentes.

29.3 LA TEORIA MODERNA DEL MAGNETISMO.

En general se acepta que el magnetismo de la materia es el resultado del movimiento de los electrones en los átomos de las sustancias. De ser así, el magnetismo es una propiedad de la carga en movimiento y está estrechamente relacionado con el fenómeno eléctrico. De acuerdo con la teoría clásica, los átomos individuales de una sustancia magnética son, en efecto, diminutos imanes con polos norte y sur. La polaridad magnética de los átomos se basa principalmente en el espín de los electrones y se debe, sólo en parte, a sus movimientos orbitales alrededor del núcleo. La figura 29.6 ilustra los dos tipos de movimiento de los electrones. No deben tomarse muy en serio los diagramas de este tipo, ya que aún se ignoran muchos aspectos relacionados con el movimiento de los electrones. No obstante, creemos firmemente que los campos magnéticos de todas las partículas deben ser causados por cargas en movimiento, y tales modelos nos ayudan a describir tales fenómenos.

Los átomos en un material magnético están agrupados en microscópicas regiones magnéticas conocidas como dominios. Se piensa que todos los átomos dentro de un dominio están polarizados magnéticamente a lo largo de un eje cristalino. En un material no magnetizado, estos dominios se orientan en direcciones al azar. Se usa un punto para indicar que una flecha está dirigida hacia afuera del papel, y una cruz indica una dirección hacia adentro del papel. Si un gran número de dominios se orientan en la misma dirección, el material mostrará fuertes propiedades magnéticas.

Esta teoría del magnetismo es muy útil porque ofrece una explicación para gran número de los efectos magnéticos observados en la materia. Por ejemplo, una barra de hierro no magnetizada se puede transformar en un imán simplemente sosteniendo otro imán cerca de ella o en contacto con ella. Este proceso, es  llamado inducción magnética. Las tachuelas se convierten, por inducción, en imanes temporalmente. La inducción magnética se explica por medio de la teoría del dominio.

La introducción de un campo magnético provoca la alineación de los dominios, Y eso da por resultado la magnetización.

El magnetismo inducido es, a menudo, sólo temporal, y cuando se retira el campo, los  dominios gradualmente se vuelven a desorientar. Si los dominios permanecen alineados en cierto grado después de que el campo se ha eliminado, se dice que el material está permanentemente magnetizado. La capacidad de retener el magnetismo se conoce como retentividad.

Otra propiedad de los materiales magnéticos que se explica fácilmente a la luz de la teoría del dominio es la saturación magnética. Tal parece que existe un límite para el grado  de magnetización que experimenta un material.

Una vez que se ha alcanzado dicho límite, ningún campo externo, por fuerte que sea, puede incrementar la magnetización. Se piensa que todos sus dominios ya se han alineado.

29. Campo magnético y corriente eléctrica.

Aunque la teoría moderna del magnetismo sostiene que un campo magnético resulta del movimiento de cargas, la ciencia no siempre ha aceptado esta idea. Es demasiado fácil demostrar que un poderoso imán no ejerce ninguna fuerza sobre la carga estática. E el transcurso de una demostración, en 1820, Hans Oersted presentó un experimento para que sus estudiantes observaran que las cargas en movimiento y los imanes tampoco interactuaban. Colocó la aguja magnética de una brújula cerca de un conductor, como se aprecia e la figura 29.12. Para su sorpresa, cuando envió la corriente a través del alambre, una fuerza giratoria actuó sobre la aguja de la brújula hasta que ésta apuntó en una dirección perpendicular al alambre. Más aún, la magnitud  de la fuerza dependía de la orientación relativa  de la aguja de la brújula y la dirección de la corriente. La máxima fuerza del giro se presentó cuando el alambre y la aguja estaban en posición  paralela entes de que circulara la corriente. Si inicialmente estaba en posición perpendicular, no se experimentaba ninguna fuerza. Evidentemente, se establece un campo magnético debido a la carga en movimiento a través del conductor.
En el mismo año que Oersted hizo su descubrimiento, Ampére encontró que existen fuerzas entre dos conductores por donde circula una corriente. Dos alambres por los que fluía corriente en la misma dirección se atraían entre sí, mientras que corrientes con direcciones opuestas originaban una fuerza de repulsión. Unos cuantos años después, Faraday descubrió que el movimiento de un imán al acercarse o alejarse de un circuito eléctrico produce una corriente en el circuito. La relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden explicarse en términos de cargas eléctricas en movimiento.

29.4 Densidad de flujo y permeabilidad

En el capítulo 24 se estableció que las líneas de campo eléctrico se dibujan de modo que su espaciamiento en cualquier punto permita determinar la fuerza del campo eléctrico en ese punto (consulte la figura 29.9). El número de líneas ΔN dibujadas a través de la unidad de área ΔA es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico E.

La constante de proporcionalidad e, que determina el número de líneas dibujadas, es la permisividad del medio a través del cual pasan las líneas.

      Se puede realizar una descripción análoga de un campo magnético considerando al flujo magnético Ф que pasa a través de una unidad de área perpendicular A± . A esta razón B se le llama densidad de flujo magnético.

La densidad de flujo magnético en una región de un campo magnético es el número de líneas de flujo que pasan a través de una unidad de área perpendicular en esa región.

La unidad del flujo magnético en el SI es el weber (Wb). La unidad de densidad de flujo debe ser entonces webers por metro cuadrado, que se redefine como tesla (T). Una antigua unidad que todavía se usa hoy es el gauss (G). En resumen,

 

29.5 Campo magnético y corriente eléctrica

Aunque la teoría moderna del magnetismo sostiene que un campo magnético resulta del movimiento de cargas, la ciencia no siempre ha aceptado esta idea. Es demasiado fácil demostrar que un poderoso imán no ejerce ninguna fuerza sobre la carga estática. En el transcurso de una demostración, en 1820, Hans Oersted presentó un experimento para que sus estudiantes observaran que las cargas en movimiento y los imanes tampoco interactuaban. Colocó la aguja magnética de una brújula cerca de un conductor, como se aprecia en la figura 29.12. Para su sorpresa, cuando envió la corriente a través del alambre, una fuerza giratoria actuó sobre la aguja de la brújula hasta que ésta apuntó en una dirección perpendicular al alambre. Más aún, la magnitud de la fuerza dependía de la orientación relativa de la aguja de la brújula y la dirección de la corriente. La máxima fuerza de giro se presentó cuando el alambre y la aguja estaban en posición paralela antes de que circulara la corriente. Si inicialmente estaban en posición perpendicular, no se experimentaba ninguna fuerza. Evidentemente, se establece un campo magnético debido a la carga en movimiento a través del conductor.

    En el mismo año que Oersted hizo su descubrimiento, Ampére encontró que existen fuerzas entre dos conductores por donde circula una corriente. Dos alambres por los que fluía corriente en la misma dirección se atraían entre sí, mientras que corrientes con direcciones opuestas originaban una fuerza de repulsión. Unos cuantos años después, Faraday descubrió que el movimiento de un imán al acercarse o alejarse de un circuito eléctrico produce una corriente en el circuito. La relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos ya no se puso en duda. Actualmente, todos los fenómenos magnéticos pueden explicarse en términos de cargas eléctricas en movimiento.

29.6 Fuerza sobre una carga en movimiento

Investiguemos los efectos de un campo magnético observando la fuerza magnética ejercida sobre una carga que pasa a través del campo. Para estudiar estos efectos, es útil imaginar un tubo de iones positivos como el de la figura 29.13. Dicho tubo nos permite inyectar un ion positivo de carga y velocidad constantes en un campo de densidad de flujo magnético B. Orientando el tubo en varias direcciones, podemos observar la fuerza ejercida sobre la carga en movimiento. La observación más importante es que dicha carga experimenta una fuerza que es perpendicular tanto a la densidad de flujo magnético B, como a la velocidad v de la carga en movimiento. Observe que cuando el flujo magnético se dirige de izquierda a derecha y la carga se mueve hacia donde está el lector, la carga se desvía hacia arriba. Si se invierte la polaridad de los imanes, se provoca que la carga se desvíe hacia abajo.

     La dirección de la fuerza magnética F sobre una carga positiva en movimiento con una velocidad v en un campo de densidad de flujo B, puede considerarse mediante la regla del tornillo de rosca derecha (véase la figura 29.14):

La regla de la mano derecha: Extienda la mano derecha con los dedos apuntando en la dirección del campo B y el pulgar apuntando en la dirección de la velocidad v de la carga en movimiento. La palma abierta está de cara a la fuerza magnética F sobre una carga positiva.

 

Si la carga en movimiento es negativa, la dirección de la fuerza se determina siguiendo el mismo procedimiento pero usando la mano izquierda. De esta manera la dirección de la fuerza magnética es opuesta a la dirección para una carga positiva.

   Consideremos ahora la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento. La experimentación ha mostrado que la magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de la carga q y a su velocidad v. El tubo de ion positivo indicará, por medio de mayores desviaciones, si alguno de estos parámetros aumenta

    Se observará una variación no esperada en la fuerza magnética si el tubo del ion se hace girar lentamente respecto a la densidad de flujo magnético B. Como indica la figura 29.15, para una carga dada con velocidad constante v, la magnitud de la fuerza varía con el ángulo

 

que forma el tubo con el campo. La desviación de la partícula es máxima cuando la velocidad de la carga es perpendicular al campo. Cuando el tubo se hace girar lentamente hacia B, la desviación de la partícula disminuye gradualmente. Por último, cuando la velocidad de la carga tiene una dirección paralela a B, no ocurre ninguna desviación, lo que indica que la fuerza magnética ha caído hasta cero. Claramente la magnitud de la fuerza es función no sólo de la magnitud de la carga y de su velocidad, sino que también varía con el ángulo θ entre v y B. Esta variación se explica al establecer que la fuerza magnética es proporcional a la componente de

la velocidad, v sen θ, perpendicular a la dirección del campo. (Consulte la figura 29.16.) Las observaciones anteriores se resumen por la proporcionalidad

Si se eligen las unidades apropiadas, la constante de proporcionalidad puede igualarse con la densidad de flujo magnético B del campo causante de la fuerza. En realidad, esta proporcionalidad se usa a menudo para definir la densidad de flujo magnético como una razón constante:

Un campo magnético que tenga una densidad de flujo equivalente a 1 tesla (1 weber por metro cuadrado), ejercerá una fuerza igual a 1 newton sobre una carga de 1 coulomb que se mueva en forma perpendicular al campo, con una velocidad de 1 metro por segundo.

Como consecuencia de la ecuación (29.8), se observa que

Estas relaciones entre unidades son útiles para resolver problemas que incluyan fuerzas magnéticas. Despejando la fuerza F en la ecuación (29.8), obtenemos

que es la forma más útil para calcular directamente las fuerzas magnéticas. La fuerza F está en newtons cuando la carga q se expresa en coulombs, la velocidad v se mide en metros por segundo y la densidad de flujo B se expresa en teslas. El ángulo θ  indica la dirección de v respecto a B. La fuerza F siempre es perpendicular tanto a v como a B. La dirección de estos vectores puede determinarse por medio de la aplicación de la regla de la mano derecha. Cuando se representan vectores tridimensionales gráficamente, resulta útil la convención de utilizar cruces (X) para indicar una dirección hacia el papel. Estos símbolos podrían considerarse el “inicio” de las flechas de vector. Usaremos puntos ( • ) para indicar puntas de flecha de vector que apuntan hacia fuera del papel. En la figura 29.17 se muestran dos ejemplos de este tipo. Para probar su comprensión del tema, verifique que la fuerza sobre la carga positiva es ascendente y la que la fuerza en la carga negativa se dirige hacia la derecha.

Un electrón se proyecta de izquierda a derecha en un campo magnético dirigido verticalmente hacia abajo. La velocidad del electrón es de 2 X 10⁶ m/s, y la densidad de flujo magnético del campo es 0.3 T. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre el electrón.

Pía n: La carga del electrón es 1.6 X 10^{-19 C, la magnitud de la fuerza sobre el electrón se calcula a partir de la ecuación (29.10) y la dirección se determina al aplicar la regla de la mano izquierda. Se usa la mano izquierda porque la carga de un electrón es negativa.}

Solución: El electrón se mueve en una dirección perpendicular a B. Por tanto, sen θ =1 ; resolvemos para la fuerza en la siguiente forma:

La aplicación de la regla de la mano izquierda para un electrón muestra que la dirección de la fuerza es hacia afuera de la página, o hacia el lector. (Para una carga positiva como un protón o una partícula alfa, sería hacia adentro de la página.)

 

29.7 Fuerza sobre un conductor por el que circula una Corriente

Cuando una corriente eléctrica I circula por un conductor que yace en un campo magnético B, cada carga q que fluye a través del conductor experimenta una fuerza magnética F. Estas fuerzas se transmiten al conductor como un todo, originando que cada unidad de longitud experimente una fuerza. Si la cantidad total de carga q pasa a través de la longitud L del alambre

(figura 29.17) con una velocidad media v, podemos escribir

F = qvB

 

La velocidad media para cada carga que recorre la longitud L en el tiempo t es L/t. Entonces,la fuerza neta sobre la longitud completa es

Ahora bien, como I = qlt, reordenamos y simplificamos para obtener

                                  F = ILBG

donde I representa la corriente en el alambre

 

Del mismo modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento varía según la dirección de la velocidad, así la fuerza F sobre un conductor por el que fluye corriente depende del ángulo θ que forma la corriente respecto al campo B. En general, si un alambre de longitud / forma un ángulo θ con el campo B, como se ilustra en la figura 29.19 dicho alambre experimentará una fuerza F dada en newton por

donde / es la corriente que circula por el alambre expresada en amperes, B es el campo magnético expresado en teslas, L es la longitud del alambre en metros y θ es el ángulo que forma el alambre con respecto al campo B.

   La dirección de la fuerza magnética sobre un conductor a través del cual fluye corriente puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la misma forma que cuando se trata de una carga en movimiento (ya que una corriente está moviendo la carga). Como muestra la figura 29.19, cuando el pulgar apunta en la dirección de la corriente I y los dedos apuntan en la dirección del campo magnético B. la palma de la mano está de cara a la dirección de la fuerza magnética F. La dirección de la fuerza siempre es perpendicular tanto a I como a B.

 

El alambre de la figura 29.19 forma un ángulo de 30° respecto a un campo B de 0.2 T, cuyo valor es de 0.2 T. Suponiendo que la longitud del alambre sea 8 cm y que pase a través de él una corriente de 4 A, determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.

Plan: La magnitud de la fuerza se determina al sustituir directamente en la ecuación (29.11) y la dirección de la fuerza se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha.

Solución: La longitud se convierte en metros (L = 8 cm. = 0.08 m).

La aplicación de la regla de la mano derecha muestra que la dirección de la fuerza es ascendente. Si la dirección de la corriente se invirtiera, la fuerza sería descendente.

29.8 Campo magnético de un conductor largo y recto

El experimento de Oersted demostró que una carga eléctrica en movimiento, o una corriente, originan un campo magnético en el espacio que la rodea. Hasta ahora hemos estudiado la fuerza que ese tipo de campo ejercerá sobre un segundo conductor por el que circula corriente o sobre una carga en movimiento en el campo. A continuación se empezará a calcular los campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas.

    Primero hay que examinar la densidad de flujo que rodea a un conductor largo y recto que transporta una corriente constante. Si se esparcen limaduras de hierro sobre el papel que rodea al conductor, como se aprecia en la figura 29.20, se alinearán en círculos concéntricos

alrededor del conductor. Una investigación similar del área que rodea al conductor con una brújula magnética ratificará que el campo magnético es circular y que está dirigido en el sentido del avance de las manecillas del reloj, como se ve a lo largo de la dirección de la corriente convencional (positiva). Ampére ideó un método conveniente para determinar la dirección del campo que rodea a un conductor recto, que recibió el nombre de regla del pulgar de la mano derecha (consulte la figura 29.20).

Si el conductor se toma con la mano derecha de modo que el pulgar apunte en la dirección de la corriente convencional, los demás dedos que sujetan al conductor indicará la dirección del campo magnético.

La inducción magnética, o densidad de flujo, a una distancia perpendicular el de un conductor largo y recto por el que circula una corriente I, como muestra la figura 29.21, se puede calcular a partir de

donde /x es la permeabilidad del medio que rodea al conductor. En los casos especiales del vacío, el aire y los medios no magnéticos, la permeabilidad µ₀ es

Cuando se usa esta constante con la ecuación (29.12), es necesario que la corriente esté en amperes, el campo en teslas y la distancia desde el conductor en metros.

Determine el campo magnético B en el aire a una distancia de 5 cm de un alambre largo por el que circula una corriente de 8 A

.

Plan: La magnitud del campo se calcula a partir de la ecuación (29.12) y la dirección se determina por la regla del pulgar de la mano derecha.

Solución:  

Si el medio que rodea no es el aire o un vacío, se debe considerar que la permeabilidad difiere de µ₀

29.9 Otros campos magnéticos

Si un alambre se curva para darle la forma de una espira y sus extremos se conectan a una fuente de comente, como aparece en la figura 29.22a, se establece un campo magnético semejante al de un imán de barra. La regla del pulgar de la mano derecha seguirá siendo muy útil para conocer la dirección del campo de una manera aproximada, pero en este caso las líneas de flujo no serán de forma circular. La densidad de flujo magnético varía considerablemente de un punto a otro.

La inducción magnética en el centro de una espira circular de radio r que transporta una corriente I se calcula por medio de esta expresión:

La dirección B es perpendicular al plano de la espira. Si el alambre forma parte de una bobina con N vueltas, la ecuación (29.13) adopta esta forma:

Un solenoide consiste en un devanado de muchas vueltas de alambre, enrolladas en forma helicoidal, como se muestra en la figura 29.23. La inducción magnética en el interior de

Un solenoide consiste en un devanado de muchas vueltas de alambre, enrolladas en forma helicoidal, como se muestra en la figura 29.23. La inducción magnética en el interior de

Un solenoide se construye devanando 400 vueltas de alambre en un núcleo de hierro de 20 cm. La permeabilidad relativa del hierro es de 13 000. ¿Qué corriente se requiere para producir una inducción magnética de 0.5 T en el centro del solenoide?

Plan: Dado que se nos proporcionó la permeabilidad relativa, necesitamos multiplicar por µ₀ para encontrar el valor de µ que usaremos en la ecuación (29.16), lo cual nos permitirá resolver para la corriente I.

Solución: La permeabilidad relativa es 13 000, así que partiendo de la ecuación (29.6), tenemos

Como N = 400 vueltas, L = 0.20 m y B = 0.5 T, resolvemos la ecuación (29.16) para la corriente I.

Un tipo particular de solenoide, llamado toroide, se emplea a menudo para estudiar efectos magnéticos. Como se verá en la siguiente sección, el toroide consta de una bobina de alambre en forma de rosca, devanado en forma muy compacta. La densidad de flujo magnético en el núcleo de un toroide también se calcula por medio de la ecuación (29.16).

29.10 Histéresis

Hemos visto que las líneas de flujo magnético son más numerosas en un solenoide con núcleo de hierro que en un solenoide en aire. La densidad de flujo está relacionada con la permeabilidad µ del material del que está hecho el núcleo del solenoide. Recuerde que la intensidad de campo H y la densidad de flujo B se relacionan entre sí según la ecuación

B = µ H

Al comparar esta relación con la ecuación (29.16) se ve que, para un solenoide,

Observe que la intensidad magnética es independiente de la permeabilidad del núcleo. Es tan sólo función del número de espiras N, de la corriente I y de la longitud del solenoide L. La intensidad magnética se expresa en amperes por metro. Es posible estudiar las propiedades magnéticas de la materia observando la densidad de flujo B producido, ya sea como una función de la corriente magnetizante o bien como función de la intensidad magnética H. Esto se puede hacer con más facilidad cuando a la sustancia se

le da una forma toroidal, como se muestra en la figura 29.24. El campo magnético originado por una corriente en el devanado magnetizante se confina por completo al toroide. A este dispositivo se le llama a menudo anillo de Rowland, en honor a J. H. Rowland, quien lo utilizó para estudiar las propiedades de muchos materiales.

Suponga que empezamos a estudiar las propiedades magnéticas de un material con un anillo de Rowland no magnetizado moldeado con la misma sustancia. Inicialmente, B = 0 y H = 0. El interruptor se cierra, y la corriente magnetizante I aumenta gradualmente, produciendo una intensidad magnética dada por

donde L es la circunferencia del anillo. Puesto que el material está sometido a una intensidad magnética H cada vez mayor, la densidad de flujo B se incrementa hasta que el material se satura. Consulte la curva AB de la figura 29.25. Si ahora la corriente se disminuye en forma gradual hasta cero, la densidad de flujo B a través del núcleo no retorna a cero, sino que retiene cierta intensidad magnética, como se ilustra mediante la curva BC (esto en esencia corresponde al magnetismo residual). La pérdida de la restitución magnética se conoce como histéresis.

Histéresis es el retraso de la magnetización respecto a la intensidad magnética.

La única forma de hacer que la densidad de flujo B dentro del anillo vuelva a cero es invirtiendo la dirección de la corriente a través del devanado. Este procedimiento desarrolla la intensidad magnética H en dirección opuesta, como muestra la curva CD. Si continúa la magnetización para aumentar en dirección negativa, el material al cabo del tiempo se saturará de nuevo con una polaridad invertida. (Consulte la curva DE.) Reduciendo la corriente a cero nuevamente y luego incrementándola en la dirección positiva, se obtiene la curva EFB. A la curva completa se le llama ciclo de histéresis.

    El área encerrada por un ciclo de histéresis es una indicación de la cantidad de energía que se pierde (en forma de calor), sometiendo a un material determinado a un ciclo de magnetización completo. La eficiencia de un gran número de dispositivos electromagnéticos está basada en la selección de materiales magnéticos con baja histéresis. Por otra parte, en el caso de los materiales que se desea mantener bien magnetizados, es necesario que éstos tengan una histéresis elevada.