INDICE DE LOS CAPITULOS.
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Capitulo 29 MAGNETISMO Y CAMPO MAGNETICO.
Capitulo 30 FUERZA Y MOMENTOS DE TORSION EN UN CAMPO ELECTRICO.
Capitulo 31. INDUCCION ELECTROMAGNETICA.
martes, 4 de diciembre de 2012
Capitulo 31. INDUCCION ELECTROMAGNETICA
Cuando termine de estudiar este capitulo el alumno:
1. Explicara y calculara la corriente o fem inducida por un conductor que se mueve
a través de un campo magnético.
2. Escribirá y aplicara una ecuación que permita relacionar la fem inducida en
cierta longitud de alambre que se mueve con una velocidad v dirigida con un
ángulo 8 respecto a un campo B conocido.
3. Enunciara y aplicara la ley de Lenz, o la regla de la mano derecha, para determinar
la dirección de la fem o la corriente.
31.1Ley de Faraday.
Faraday descubrió que cuando un conductor corta las líneas de flujo magnético, se produce
una fem entre los extremos de dicho conductor. Por ejemplo, se induce una corriente eléctrica
en el conductor de la figura 31.1a a medida que éste se mueve hacia abajo, atravesando las
líneas de flujo. (Con la letra i minúscula indicaremos, las corrientes inducidas y las corrientes
variables.) Cuanto más rápido sea ese movimiento, tanto más pronunciada será la desviación
de la aguja del galvanómetro. Cuando el conductor se mueve hacia arriba a través de las
líneas de flujo se puede hacer una observación similar, excepto que en ese caso la corriente
se invierte (véase la figura 31.1b). Cuando no se cortan las líneas de flujo, por ejemplo si el
conductor se mueve en dirección paralela al campo, no se induce corriente alguna.
Supongamos que cierto número de conductores se mueven a través de un campo magnético,
como se observa en la figura 31.2, al descender una bobina de N espiras a través de las
líneas de flujo. La magnitud de la corriente inducida es directamente proporcional al número
de espiras y a la rapidez del movimiento. Es evidente que se induce una fem mediante el
movimiento relativo entre el conductor y el campo magnético.
Cuando la bobina permanece
estacionaria y el imán se mueve hacia arriba se observa el mismo efecto.
Resumiendo lo que se ha observado mediante estos experimentos, se establece que:
1 . El movimiento relativo entre un conductor y un campo magnético induce una fem en el
conductor.
2. La dirección de la fem inducida depende de la dirección del movimiento del conductor
respecto al campo.
3. La magnitud de la fem es directamente proporcional a la rapidez con la que el conductor
corta las líneas de flujo magnético.
4. La magnitud de la fem es directamente proporcional al número de espiras del conductor
que cruza las líneas de flujo.
Una relación cuantitativa para calcular la fem inducida en una bobina de N espiras es:
Un flujo magnético que cambia con una rapidez de un weber por segundo inducirá una fem
de 1 volt por cada espira del conductor.
El signo negativo de la ecuación (31.1) significa que
la fem inducida tiene tal dirección que se opone al cambio que la produce, como se explicará
en la sección. 31.3.
Ahora analicemos cómo el flujo magnético O que se acopla a un conductor puede cambiar.
En el caso más sencillo de un alambre recto que se mueve a través de líneas de flujo,
A<E>/Aí representa la rapidez con la cual el flujo se acopla a causa de los cambios del conductor.
Sin embargo, para que una comente inducida exista es necesario que fluya a través de un
circuito cerrado, y lo que nos interesa con más frecuencia es la fem inducida en una espira o
en una bobina de alambre.
Recuerde que el flujo magnético O que pasa a través de una espira de área efectiva A está
dado por:
donde B es la densidad de flujo magnético. Cuando B está en teslas (webers por metro cuadrado)
y A está en metros cuadrados, í> se expresa en webers.
Un cambio en el flujo <E> puede expresarse principalmente en dos formas:
1. Al cambiar la densidad de flujo B a través de una espira de área A:
Dos ejemplos de densidad de flujo variable a través de una bobina estacionaria de área
constante se ilustran en la figura 31.3. En la figura 31.3a, el polo
norte de un imán se mueve a través de una bobina circular. La variación
de la densidad de flujo induce una corriente en la bobina, como lo
indica el galvanómetro. En la figura 31.3b no se induce corriente en la
bobina B mientras la corriente en la bobina A sea constante.
Sin embargo, mediante una rápida variación de la resistencia en el
circuito izquierdo, la densidad de flujo magnético que llega
a la bobina B puede aumentar o disminuir. Mientras la densidad de flujo está cambiando se induce una corriente en la bobina de la derecha.
Observe que cuando el polo norte (N) del imán se mueve en la bobina en la figura 31.3a,
la corriente fluye en la dirección de las manecillas del reloj si vemos hacia el imán. Por tanto el extremo de la bobina cerca del polo N del imán se vuelve también un polo N (a partir de
la regla del pulgar de la mano derecha que se explicó en el capítulo anterior). El imán y la
bobina experimentarán una fuerza de repulsión, por lo cual será
necesario ejercer una fuerza para juntarlos. Si se extrae el imán de la
bobina, existirá una fuerza de atracción que hace
necesario ejercer una fuerza para separarlos. En la sección 31.3 se
verá que tales fuerzas son una consecuencia natural de la conservación
de la energía.
Solución: Primero calcularemos el cambio en el flujo.
A<E> = (AB)A = (Bf ~ B0)A
= (1.4 T - 0.65 T)(2 X 10“ 3 m2)
= 1.50 X 10” 3 Wb
Para determinar la fem inducida, sustituimos este cambio en la ecuación (31.1):
31.2 Fem inducida por un conductor en movimiento.
Fem inducida por un conductor en movimiento
Otro ejemplo de un área que varía en un campo B constante se ilustra en la figura 31.4. Imagine
que un conductor en movimiento de longitud L se desliza a lo largo de un conductor
estacionario en forma de U con una velocidad v. El flujo magnético que
penetra la espira La fem inducida en un conductor de longitud L se mueve
con una velocidad v perpendicular a
un campo magnético B.
aumenta a medida que el área de la espira aumenta. En consecuencia, se induce una fem en el
conductor en movimiento, y circula una comente por la espira.
Se puede entender el origen de la fem recordando que una carga en movimiento en un
campo magnético experimenta una fuerza que se calcula con esta expresión:
Por ejemplo, en la figura 31.4 las cargas libres en el conductor se mueven hacia la derecha a
través de un campo magnético dirigido hacia abajo. La fuerza magnética F que actúa sobre
las cargas hace que se muevan a través de la longitud L del alambre en una dirección determinada
por la regla de la mano derecha (alejándose del lector para la corriente convencional). El
trabajo por unidad de carga representa la fem inducida, expresada por:
Si la velocidad v del alambre en movimiento tiene una dirección que forma un ángulo 9
con el campo B es necesaria una forma más general para la ecuación (31.5):
31.3 Ley de lenz
En todos los estudios acerca de los fenómenos físicos hay un principio que sirve de guía y
que se destaca sobre todos los demás: el principio de la conservación de la energía. No puede
existir una fem sin una causa. Siempre que una comente inducida produce calor o realiza un
trabajo mecánico, la energía necesaria debe provenir del trabajo efectuado para inducir la corriente.
Recuerde el ejemplo estudiado en la figura 31.3a. El polo norte del imán introducido
en una bobina induce una comente que a su vez origina otro campo magnético. El segundo
campo produce una fuerza que se opone a la fuerza original. Si se retira el imán se crea una
fuerza que se opone a la retirada del imán. Lo anterior ilustra la ley de Lenz:
Ley d e Lenz: Una corriente inducida fluirá en una dirección tal que por medio
de su campo magnético se opondrá al movimiento del campo magnético que
la produce.
Cuanto más trabajo se realiza al mover el imán en la bobina, mayor será la corriente inducida
y, por tanto, mayor la fuerza de resistencia. Éste era el resultado esperado a partir de la
ley de la conservación de la energía. Para producir una comente más intensa se debe realizar
una mayor cantidad de trabajo.
La dirección de la comente inducida en un conductor recto que se mueve a través de un
campo magnético se puede determinar por la ley de Lenz. Sin embargo, es más fácil usar una
modificación de la regla de la mano derecha, presentada en el capítulo 29, para determinarla
fuerza en una carga en movimiento. Este método, conocido como la regla de Fleming, se
ilustra en la figura 31.5.
Regla de Fleming: Si el pulgar, el dedo indice y el dedo medio de la mano
derecha se colocan en angulo recto entre si, apuntando con el pulgar en la
direccion en la que se mueve el conductor, y apuntando con el indice en
la direccion del campo (N a S), el dedo medio apuntara en la direccion convencional
de la comente inducida.
La regla de Fleming es fácil de aplicar y útil para estudiar las comentes inducidas por un generador
simple. A veces los estudiantes recuerdan esta regla memorizando movimiento-flujo-corriente.
Estas son las direcciones indicadas por el pulgar, el índice y el dedo medio, respectivamente.
31.4El generador de ca.
Un generador eléctrico convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Hemos visto que se induceuna fem en un conductor cuando éste experimenta un cambio en el acoplamiento inductivo.
Cuando el conductor forma un circuito cerrado, se puede detectar en él una comente inducida. En
un generador, una bobina de alambre se hace girar dentro de un campo magnético, y la comente
inducida se transmite mediante alambres a grandes distancias del lugar donde se originó.
La figura 31.6 muestra la construcción de un generador simple. Básicamente está formado
por tres componentes: un imán inductor, una armadura y anillos colectores con escobillas.
El inductor puede ser un imán permanente o un electroimán. La armadura del generador de la
figura 31.6 consta de una sola espira de alambre suspendido entre los polos del imán inductor.
Un par de anillos colectores se conectan a los dos extremos de la espira; por tanto, dichos anillos
giran junto con la espira cuándo ésta gira en el campo magnético. La comente inducida se
extrae del sistema mediante escobillas de grafito que se montan sobre cada uno de los anillos.
La energía mecánica se suministra al generador al girar la armadura en el campo magnético. La
energía eléctrica se genera en forma de una corriente inducida.
La dirección de la corriente inducida debe obedecer la regla de Fleming de movimientoflnjo-
corriente. En la ñgura 31.6, el movimiento hacia abajo del segmento de alambre de la
izquierda cruza un flujo magnético dirigido de izquierda a derecha. La corriente inducida,
por tanto, tiene una dirección hacia los anillos colectores. Mediante un razonamiento similar
se demuestra que la corriente en el segmento de la derecha de la espira, que se mueve hacia
arriba, se alejará de los anillos colectores.
Para comprender cómo funciona un generador de ca, es necesario seguir el movimiento de la
espira durante una rotación completa, observando la corriente que se genera en el curso de dicha
rotación. La ñgura 31.7 muestra cuatro posiciones de bobina al girar y la dirección de la corriente
que se suministra a las escobillas en cada caso. Suponga que la espira se mueve en forma mecánica
en una contrasentido a las manecillas del reloj. En la figura 31.7a la espira está en posición
horizontal, con el lado M de cara al polo sur (S) del imán. En este punto se suministra una corriente
máxima en la dirección indicada. En la figura 31.7b, la espira está en posición vertical,
con el lado M hacia arriba. En este punto una comente máxima se libera en la dirección que se
señala. En la figura 31.7b la espira es vertical, con el lado M apuntando hacia arriba. Al llegar
a este punto no hay líneas de flujo que cortar, y la comente inducida desciende hasta cero.
Cuando la espira vuelve a la posición horizontal, como aparece en la figura 31.7c, el lado M
ve al polo norte (N) del imán. Por consiguiente, la corriente entregada al anillo colector R ha
cambiado de dirección. Una comente inducida fluye a través del resistor externo en dirección
opuesta a la que experimentó con anterioridad. En figura 31.7d la espira queda de nuevo en
posición vertical, pero ahora con el lado M hacia abajo. No se cortan líneas de flujo, y la corriente
inducida de nuevo es cero. Luego, la espira vuelve a su posición horizontal como en la
figura 31.7a y el ciclo se repite. Por tanto, la corriente suministrada por un generador de este
tipo alterna periódicamente, cambiando de dirección dos veces por cada rotación.
La fem generada en cada segmento de la espira giratoria debe obedecer la relación expresada
en la ecuación 31.6:
donde v es la velocidad de un segmento de alambre de longitud L en movimiento en un campo
magnético de densidad de flujo B. La dirección de la velocidad v respecto al campo B en
cada instante se indica mediante el ángulo 9. Considere el segmento M de la espira giratoria
cuando alcanza la posición que indica la figura 31.8. La fem instantánea en esta posición se
calcula por la ecuación (31.6). Si la espira gira en un círculo de radio r, la velocidad instantánea
v se puede determinar partiendo de:
donde co es la velocidad angular en radianes por segundo. Al sustituir en la ecuación (31.6)
se obtiene la fem instantánea:
Una fem idéntica se induce en el segmento de alambre opuesto M, y no se genera ninguna
fem neta en los otros segmentos. Esto significa que la fem instantánea total es igual al doble
del valor obtenido mediante la ecuación (31.7), por lo tanto,
pero el área A de la espira es:
y la ecuación (31.8) puede simplificarse aún más:
Donde JV es el número de espiras del alambre.
La ecuación (31.9) expresa un importante principio relacionado con el estudio de las
corrientes alternas:
Si la armadura gira con una velocidad angular constante en un campo magnetico
constante, la magnitud de la fem inducida varia en forma sinusoidal
respecto al tiempo.
Este hecho se ilustra en la ñgura 31.9. La fem varía de un valor máximo cuando 6 = 90° a un
valor cero cuando 6 = 0o. La máxima fem instantánea es, por tanto.
puesto que sen 90° = 1. Si se establece la ecuación (31.9) en términos de la fem máxima,
escribimos:
Para notar la variación explícita de la fem generada respecto al tiempo, debemos recordar
Que:
donde/es el número de rotaciones por segundo que realiza la espira. Es decir, podemos expresar
la ecuación (31.11) en la siguiente forma:
Puesto que la comente inducida es proporcional a la fem inducida, por la ley de Ohm, la
corriente inducida tambi.n variar. sinusoidalmente de acuerdo con:
La comente m.xima se presenta cuando la fem inducida es m.xima. La variaci.n sinusoidal
es similar a la representada en la gr.fica de la figura 31.9.
La unidad para la frecuencia en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por
segundo.
Por tanto, una comente alterna de 60 ciclos por segundo tiene una frecuencia de 60Hz.
31.5 El generador de cd.
Un generador simple de ca se puede convertir fácilmente en un generador de cd sustituyendo
los anillos colectores por un conmutador de anillo partido, como se observa en la figura 31.10.
La operación es justamente la inversa de la que se analizó anteriormente para un motor de cd
(capítulo 30). En el motor, la corriente eléctrica origina un momento de torsión externo. En el
generador de cd,un momento de torsión externo origina una com ente eléctrica. El conmuta
dorinvierte las conexiones de las escobillas dos veces por cada revolución. Como resultado,
la corriente pulsa pero nunca cambia de dirección. La fem de un generador de este tipo varía
con el tiempo, como muestra la figura 31.11. Observe que la fem está siempre en la dirección
positiva, pero que se eleva hasta un valor máximo y luego decae a cero dos veces por cada
rotación completa. Los generadores de cd de uso práctico se diseñan con numerosas bobinas
colocadas en varios planos, de tal modo que la fem es mayor y casi constante.
31.6Fuerza contraelectromotriz en un motor.
En un motor eléctrico, un momento de torsión magnético provoca que una espira, por la cual
fluye corriente, gire en un campo magnético constante. Acabamos de estudiar que una bobina
que gira en un campo magnético inducirá una fem que se opone a la causa que la origina. Esto
es cierto incluso en el caso de que una corriente ya estuviera fluyendo por la espira. Por tanto,
cualquier motor es al mismo tiempo un generador.De acuerdo con la ley de Lenz, una fem
inducida de ese tipo debe oponerse a la corriente que se suministra al motor. Por esta razón, a
la fem inducida en un motor se le llama fuerza contraelectromotriz.
La ecuación (31.14) nos indica que la corriente que fluye por un circuito incluido en un
motor está determinada por la magnitud de la fuerza contraelectromotriz. Por supuesto, la mag
nitud de esta fem inducida depende de la rapidez de rotación de la armadura. Esto se puede
demostrar experimentalmente si se conectan en serie un motor, un amperímetro y una batería,
como se muestra en la figura 31.13. Cuando la armadura está girando, se registra una corriente
baja. La fuerza contraelectromotriz reduce el voltaje efectivo. Si se detiene el funcionamiento
del motor haciendo que la armadura permanezca estacionaria, la fuerza contraelectromotriz
disminuye hasta cero. El incremento del voltaje neto da por resultado una mayor corriente en el
circuito y puede provocar un sobrecalentamiento del motor e incluso hacer que éste se queme.
31.7 Tipos de motores.
Los motores de cd se clasifican de acuerdo con la forma en que están conectadas las bobinas y
la armadura. Cuando las bobinas de la armadura y las bobinas del campo se conectan en serie,
como se observa en la figura 31.14, se dice que el motor está devanado en serie.En este tipo
de motor, la corriente suministra energía tanto al devanado de campo como al de la armadura.
Cuando la armadura gira lentamente, la fuerza contraelectromotriz es pequeña y la corriente
es grande. En consecuencia, se desarrolla un gran momento de torsión a bajas rapideces.
En un motor devanado en derivación,el devanado del campo y el de la armadura están co
nectados en paralelo, como se ilustra en la figura 31.15. El voltaje total se aplica a través de ambos
devanados. La principal ventaja de un motor devanado en derivación es que produce un momento
de torsión más constante para un amplio intervalo de rapideces. Sin embargo, el momento de tor
sión inicial es generalmente menor que el necesario para un motor similar devanado en serie.
En algunas aplicaciones, el devanado de campo está dividido en dos partes, una de las
cuales se conecta en serie con la armadura y la otra en paralelo. Un motor de ese tipo se llama
m otor compuesto.El momento de torsión que produce un motor compuesto queda compren
dido entre los que presentan los motores devanados en serie y en derivación.
En motores de imán permanenteno es necesario aplicar una corriente para crear el cam
po. Estos motores tienen un momento de torsión con características análogas a las de los
motores devanados en derivación.
31.8 El transformador.
Anteriormente se hizo notar que cuando una comente cambia en una espira de alambre se
induce una com ente en una espira cercana. La com ente inducida se origina del campo magné
tico cambiante asociado con la corriente que varía. La com ente alterna tiene una clara ventaja
sobre la com ente directa y es el efecto inductivo de la corriente que varía constantemente en
magnitud y en dirección. La aplicación más frecuente de este principio está representada por el
transformador , que es un dispositivo que aumenta o disminuye el voltaje en un circuito de ca.
Un transformador simple se puede observar en la figura 31.16. Tiene tres partes esencia
les: (1) una bobina primaria conectada a una fuente de ca, (2) una bobina secundaria y (3) un
núcleo de hierro dulce. Al aplicar una com ente alterna a través de la bobina primaria, las lí
neas de flujo magnético se mueven de un lado a otro a través del núcleo de hierro, induciendo
una com ente alterna en la bobina secundaria.
El voltaje inducido está en proporción directa al número de espiras. Si la razón de las espiras
secundarias Ns respecto a las espiras primarias N varía, entonces un voltaje de entrada (prima
rio) puede suministrar cualquier voltaje de salida (secundario) deseado. Por ejemplo, si en la
bobina secundaria hay 40 veces más espiras que en la bobina primaria, un voltaje de entrada de
120 V incrementará el voltaje de salida en la bobina secundaria hasta 40 X 120 = 4800 V. A un
transformador que produce un voltaje de salida mayor se le llama transformador elevador.
Se puede construir un transformador reductor haciendo que el número de espiras prim a
rias sea mayor que el número de espiras secundarias. Si se usa un transformador reductor se
obtiene un voltaje de salida más bajo.
El rendimiento de un transformadorse define como la razón de la potencia de salida res
pecto a la potencia de entrada. Recuerde que la potencia eléctrica es igual al producto del vol
taje por la corriente, así que podemos escribir el rendimiento E de un transformador como
domingo, 25 de noviembre de 2012
Capitulo 30 Fuerza y momentos de torsión en un campo eléctrico
Hemos visto que un campo eléctrico puede producir un campo magnético. En este capítulo estudiaremos
que el proceso inverso también es cierto: un campo magnético puede generar un campo
eléctrico. Una corriente eléctrica se genera mediante un conductor que tiene un movimiento
relativo respecto a un campo magnético. Una bobina giratoria en un campo magnético induce
una fem alterna, la cual origina una corriente alterna ea), A este proceso se le llama inducción
electromagnética y es el principio de operación en el cual se basan muchos dispositivos eléctricos.
Por ejemplo, los transformadores y generadores eléctricos de ea aprovechan la inducción
electromagnética para producir y distribuir energía eléctrica en forma económica.
Objetivos
Cuando termine de estudiar este
capítulo el alumno:
1. Determinará la dirección de la
fuerza magnética sobre un conductor por el que circula una corriente en un
campo B conocido.
2. Escribirá y aplicará
ecuaciones para calcular el momento de torsión magnético de una bobina o de un
solenoide cuyas áreas, número de espiras y corrientes se conocen, al ser
colocados en un campo magnético de densidad de flujo que también se conoce.
3. Explicará con esquemas la
función de cada parte de un galvanómetro de laboratorio y describirá cómo puede
convertirse en un amperímetro y en un voltímetro.
4. Calculará la resistencia
multiplicadora necesaria para incrementar los límites de un voltímetro de
corriente directa (cd) que contiene un galvanómetro de sensibilidad constante.
5. Calculará la resistencia en
derivación necesaria para incrementar la amplitud de un galvanómetro o de un
amperímetro de sensibilidad constante.
6. Explicará el funcionamiento de
un motor de corriente directa (cd) simple y analizará la función de cada una de
sus partes prestando atención especial al conmutador de anillo partido.
Fuerza y momentos de torsión en un campo magnético
Hemos visto que al colocarlo en
un campo magnético, un conductor por el que circula corriente experimenta una
fuerza perpendicular tanto a la corriente (l) como a la inducción magnética
(B). Una bobina suspendida en un campo magnético experimenta sobre sus costados
un momento de torsión debido a fuerzas magnéticas equivalentes y de sentidos
opuestos. En este capítulo estudiaremos el galvanómetro, el voltímetro, el
amperímetro y el motor de corriente directa como aplicaciones de las fuerzas
electromagnéticas.
Fuerza y momento de
torsión en una espira
Un conductor por el que circula
corriente suspendido en un campo magnético (véase la figura 30.1) experimentará
una fuerza magnética dada por
Figura 30.1 La fuerza ejercida sobre un conductor por el que
circula corriente tiene una dirección perpendicular al campo magnético, la cual
está dada por la regla del tornillo de rosca derecha .
Ahora examinemos las fuerzas que
actúan sobre una espira rectangular por la que fluye una corriente y que se
encuentra suspendida en un campo magnético, como se muestra en la figura 30.2.
La longitud de los lados son a y b, y la corriente l circula por la espira como
ahí se indica. (No se muestra la fuente de fem ni los conductores por donde
llega la corriente para simplificar.) Los lados mn y op de la espira tienen una
longitud a perpendicular a la inducción magnética B. Por tanto, sobre los lados
actúan fuerzas de igual magnitud y de sentido opuesto.
La fuerza se dirige hacia arriba
para el segmento mn y hacia abajo para el segmento op.
Figura 30.2 Fuerzas magnéticas sobre una espira por la que circula
corriente.
Figura 30.3. Calculo del momento
de torsión sobre una espira por la que fluye corriente.
Con un razonamiento similar se
demuestra que en los otros dos lados también actúan fuerzas iguales y opuestas,
las cuales tienen una magnitud de
Donde IX es el
ángulo que los lados np y mo forman con el campo magnético.
Es evidente que la espira se encuentra en equilibrio de
traslación, puesto que la fuerza resultante sobre ella tiene un valor de cero.
Sin embargo, las fuerzas no concurrentes sobre los lados de longitud a producen
un momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina en el sentido de las
manecillas del reloj. Como se observa en la figura 30.3, cada fuerza produce un
momento de torsión igual a
En virtud de que el momento de torsión es igual al
doble de este valor, el momento de torsión resultante puede determinarse a
partir de
(30.3)
Puesto que a X b
es el área A de la espira, la ecuación (30.3) puede escribirse como
(30.4)
Observe que el momento de torsión es máximo cuando IX =
0°, esto es, cuando el plano de la espira es paralelo al campo magnético.
Cuando la bobina gira alrededor de su eje, el ángulo IX crece, con lo que se
reduce el efecto rotacional de las fuerzas magnéticas. Cuando el plano de la
espira es perpendicular al campo, el ángulo IX = 90° Yel momento de torsión
resultante es cero. La cantidad de movimiento de la bobina hará que ésta rebase
ligeramente este punto; sin embargo, la dirección de las fuerzas magnéticas
asegurará su oscilación hasta que alcance el equilibrio con el plano de la
espira perpendicular al campo. Si la espira se reemplaza con una bobina
devanada en forma muy compacta, con N espiras de alambre, la ecuación general
para calcular el momento de torsión resultante es
(30.5)
Esta ecuación se aplica a cualquier circuito completo
de área A y su uso no se restringe a
espiras rectangulares. Cualquier espira plana obedece la misma relación.
EJEMPLO 30.1
Una bobina rectangular formada por 100 espiras de
alambre tiene un ancho de 16cm y una longitud de 20 cm. La bobina está montada
en un campo magnético uniforme de densidad de flujo de 8 mT, y una corriente de
20A circula por el devanado. Cuando la bobina forma un ángulo de 30° con el
campo magnético, ¿cuál es el momento de torsión que tiende a hacer girar la
bobina?
Solucion: sustituyendo en la ecuacion (30.5) se obtiene
30.2 Momento de
torsion magnetico sobre un selonoide.
Compruebe que sen 0 es igual a cos a observando la
figura.
Figura 30.4 Momento de torsión
magnético sobre un solenoide. El ángulo a
es el que forma cada espira de alambre con el campo B. El ángulo ¨e¨ es el que
se halla entre el eje del solenoide y ese mismo campo. Recuerde que 0 + a
+ 90°.
30.3 El
galvanometro
Cualquier dispositivo usado para medir una corriente
eléctrica se llama galvanómetro. Funciona a partir del principio según el cual
el momento de torsión magnética es proporcional a la corriente. Las partes
esenciales se muestran en la figura 30.5a. Una bobina de alambre, arrollada en
tomo de un núcleo de hierro dulce, se apoya sobre cojinetes hechos de alguna piedra
preciosa, y se coloca entre los polos de un imán permanente. Su movimiento
rotacional está restringido por un par de resortes en espiral, que sirven
también como conductores de la corriente a la bobina. De acuerdo con la
dirección de la corriente que se va a medir, la bobina y la aguja indicadora
girarán en dirección en favor o en contra del avance de las manecillas del
reloj. Los imanes permanentes se modelan para suministrar un campo radial
uniforme de modo que el momento de torsión sea directamente proporcional a la
corriente que hay en la bobina. La sensibilidad de un galvanómetro queda determinada
por el momento de torsión del resorte, la fricción de los cojinetes y la
intensidad del campo magnético. Una sensibilidad común puede ser de escalas de
división de 50 }.LA. En general, la posición cero de la escala se ubica en el
centro, como se observa en la figura 30.5b. En ciertas aplicaciones, el
galvanómetro puede utilizarse como un voltímetro de cd y como un amperímetro de
cd, y es magnífico para estudiar circuitos de laboratorio que contribuyen a
reforzar nuestros conocimientos de las relaciones que hay entre la corriente,
el voltaje y la resistencia. En las secciones 30.4 y 30.5 se ofrece una explicación
pormenorizada de esas aplicaciones, junto con una exposición de cómo es posible
cambiar los límites de ese instrumento.
Figura 30.5 El galvanómetro de
laboratorio. La posición de equilibrio (para una corriente igual a cero) es tal
que la aguja indicadora se ubica en el centro, de modo que la desviación puede
ocurrir hacia cualquier lado.
Sin embargo, cabe señalar que los aparatos digitales
son más precisos y menos complicados que los antiguos dispositivos analógicos.
Son varias las ventajas que brindan estos instrumentos. Los medidores digitales
incluyen una batería para encender las pantallas, así que extraen una corriente
despreciable del circuito en comparación con los basados en galvanómetros.
Cuando se emplean para medir el voltaje, los aparatos digitales pueden ofrecer
una resistencia enorme, en general del orden de 10 Mil, lo que implica que el
circuito no se alterará de manera significativa. Por añadidura, se elimina el
problema que surge cuando un galvanómetro se sujeta mal. El dispositivo digital
se limita a indicar un valor negativo para una polaridad y otro positivo para
la otra.
30.4 El voltimetro de cd
Un voltímetro es un
instrumento que se usa para medir la diferencia de potencial entre dos puntos
de un circuito. En esta sección indicaremos cómo puede usarse un galvanómetro
analógico para el mismo propósito. La diferencia de potencial a través del
galvanómetro es muy pequeña, incluso cuando se produce una desviación grande en
el instrumento. Por tanto, si se usa un 'galvanómetro para medir voltajes, éste
debe convertirse en un instrumento de alta resistencia. Suponga que se desea
medir la caída de voltaje a través de la batería de la figura 30.6. Este
voltaje debe medirse sin perturbar en forma apreciable la corriente que fluye
por el circuito. Dicho de otro modo, el voltímetro debe tomar una corriente
insignificante. Para lograrlo, se coloca una resistencia multiplicadora Rm
en serie con el galvanómetro como una parte integral del voltímetro de cd.
Observe que el galvanómetro que se utiliza en el
voltímetro se ajusta de modo que su posición de equilibrio se encuentre en el
extremo izquierdo de la escala. Esto permite tener un mayor límite en la
escala, pero lamentablemente requiere que la corriente pase a través de la
bobina en una sola dirección. La sensibilidad del galvanómetro se determina por
la corriente Ig necesaria para una desviación de toda la escala
(desviación máxima de la aguja), como g aparece en la figura 30.6.
Suponga que la bobina del galvanómetro tiene una
resistencia Rg y que la escala se diseña para acabar la desviación
de la escala completa debida a la corriente Ig. Un galvanómetro así, actuando solo, puede
calibrarse para registrar voltajes desde cero hasta un valor máximo expresado
por:
Si se elige la resistencia multiplicadora Rm
apropiada, es posible calibrar la escala para leer cualquier voltaje deseado.
Suponga que se desea una desviación de toda la escala del voltímetro para el
voltaje VB como se indica en la figura 30.6. La resistencia
multiplicadora Rm debe elegirse de modo que sólo una pequeña
corriente, Ig, pase por el galvanómetro. En estas condiciones,
Por tanto, se observa que la resistencia multiplicadora
Rm es igual a la resistencia total del aparato, VB/I g
menos la resistencia del galvanómetro, Rg .
Ejemplo 30.2
Un galvanómetro tiene una resistencia interna de 30 ny
se desvía toda la escala con una corriente de 1 rnA. Calcule la resistencia multiplicadora
necesaria para convertir este galvanómetro en un voltímetro cuyo límite máximo
es de 50 V.
Plan: La resistencia
multiplicadora Rm debe ser tal que la caída total del voltaje a
través
de Rg y de Rm sea igual a 50 V.
Solución: A partir de la ecuación
(30.8) se obtiene
Observe que la resistencia total del voltímetro (R + R
) es de 50 K _( )_
Un voltímetro se debe conectar en paralelo con la parte
del circuito cuya diferencia de potencial se va a medir. Esto es necesario para
que la gran resistencia del voltímetro no altere en forma significativa al
circuito.
30.5 El
amperimetro de cd
La
corriente a través de la derivación Ig es la diferencia entre la
corriente I del circuito y la corriente
Ig del galvanómetro.
Entonces, la ecuación (30.9) se vuelve:
Si
se despeja para la resistencia en derivación Rs se obtiene la
siguiente relación útil:
Ejemplo 30.3
Un
galvanómetro tiene una resistencia interna en la bobina de 46 _( )_, y se
requiere una corrientee 200 mA para que la aguja se desvíe toda la escala. ¿Qué
resistencia en derivación debe usarse para convertir el galvanómetro en un
amperímetro cuyo intervalo máximo sea de lO A?
Solución: La ecuación (30.10) nos
da:
30.6 El motor de cd
Un
motor eléctrico es un dispositivo que transforma la energía eléctrica en
energía mecánica. El motor de cd, como
la bobina móvil de un galvanómetro, consta de una bobina por la que fluye
corriente colocada dentro de un campo magnético. Sin embargo, el movimiento de
la bobina en el motor no está restringido por resortes. El diseño permite que
la bobina gire continuamente bajo la influencia de un momento de torsión
magnético. Un motor sencillo de cd está formado por una sola espira, suspendida
entre dos polos magnéticos, por la cual circula una corriente, como se indica
en la figura 30.8. Normalmente, el momento de torsión ejercido sobre la espira
por la que fluye corriente disminuye hasta llegar a cero cuando su plano llega
a ser perpendicular al campo magnético. Para que sea posible la rotación
continua de la espira, la corriente que circula por ella ha de invertirse
automáticamente cada vez que la espira gira 180°
Se logra invertir la corriente usando un conmutador de anillo partido, como se muestra en la figura 30.9. El conmutador consta de dos semi anillos seccionados, cada uno de los cuales está conectado a cada extremo de la espira y aislados entre sí. A medida que la espira gira, cada escobilla toca primero una mitad del anillo y luego otra. Por consiguiente, las conexiones eléctricas se invierten a la mitad de cada revolución en el momento en que la espira queda en posición perpendicular al campo magnético. De esta forma, el momento de torsión que actúa sobre la espira tiene siempre la misma dirección, y la espira girará continuamente.
Aunque
en realidad los motores de cd funcionan de acuerdo con el principio descrito en
la figura 30.8, hay algunos diseños que incrementan el momento de torsión
aprovechable y lo hacen más uniforme. Uno de esos diseños se presenta en la
figura 30.9. Es posible crear un campo magnético mayor reemplazando los imanes
permanentes con electroimanes. Además, el momento de torsión puede ser mayor y
más uniforme si se añaden algunas bobinas diferentes, cada una de ellas con
gran número de espiras devanadas alrededor de un núcleo de hierro con
hendeduras, llamado armadura. El conmutador es un interruptor automático que
mantiene lascorrientes en las direcciones mostradas en la figura,
independientemente de la orientación de la armadura. En el capítulo siguiente
se estudiarán con más detalle los motores de cd.
Resumen y repaso
Resumen
El
momento magnético de las espiras por las que circula una corriente constituye
la base de tantas aplicaciones que es esencial tener conocimientos básicos
firmes al respecto. El funcionamiento de los generadores, motores,
amperímetros, voltímetros y muchos instrumentos industriales se ve afectado directamente
por las fuerzas y los momentos de torsión magnéticos. A continuación se resumen
los principales conceptos que conviene recordar.
•
El momento de torsión magnético sobre una bobina de alambre que conduce corriente
y tiene N vueltas de alambre está dado por
Donde:
Ø N= es el numero de vueltas
del alambre
Ø B= densidad del flujo
Ø I =corriente A
Ø A = area de la bobina d
alambre m2
Ø a= angulo que forma el plano
de la bobina con el campo
• La misma ecuación puede aplicarse en el caso de un
solenoide, excepto en que el ángulo a
se sustituye generalmente por e, que es el ángulo que forma el eje del
solenoide con el campo.
•
La resistencia multiplicadora Rm, que se debe conectar en serie con
un voltímetro para permitir la desviación de toda la escala para VB
se calcula mediante
l es la corriente del galvanómetro y R g es su resistencia.
• La resistencia en derivación Rs que debe
conectarse en paralelo con un amperímetro para tener una desviación de toda la
ecala para una corriente I es
Conceptos claves
Amperímetro 594
Armadura 596
Conmutador de anillo dividido 595
Derivación 594
Desviación de toda la escala 593
Galvanómetro 592
Momento de torsión magnético 592
Motor de cd 595
Motor eléctrico 595
Resistencia en derivación 594
Resistencia multiplicadora 593
Sensibilidad 592
Voltímetro 593
Preguntas de repaso
30.1. Las fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto que
actúan sobre una espira con corriente en un campo magnético forman lo que se
conoce como un par de fuerzas. Demuestre que el momento de torsión resultante
sobre un par de fuerzas de ese tipo es el producto de una de las fuerzas por la
distancia perpendicular
30.2. ¿Por qué es necesario proporcionar un campo magnético
radial a la bobina del galvanómetro?
30.3. Una bobina de alambre está suspendida de un hilo, de
modo que el plano de las espiras coincida con el plano de la página. Si la
bobina se coloca dentro de un campo magnético cuya dirección es de izquierda a
derecha y si se hace circular por la bobina una corriente en el sentido de las
manecillas del reloj, describa cuál será su movimiento.
30.4. ¿En qué se asemeja el funcionamiento de un
galvanómetro al de un motor? ¿En qué se diferencian?
30.5. ¿De qué forma influye el núcleo de la bobina de un
galvanómetro en la sensibilidad del instrumento?
30.6. Explique en qué consiste el momento de torsión
ejercido sobre un imán de barra suspendido en un campo magnético, sin referirse
a los polos magnéticos. Comente, desde el punto de vista atómico, cómo el
momento de torsión observado puede surgir por la misma causa que el momento de
torsión en una espira por la que fluye corriente.
30.7. Suponga que se desea incrementar en N veces los
límites de la escala de un amperímetro. Demuestre que la resistencia en
derivación que debe colocarse entre las terminales del amperímetro se calcula
mediante
Donde Ra es la resistencia del amperímetro.
30.8. Suponga que los límites de la
escala de un voltímetro van a incrementarse N veces. Demuestre que la
resistencia multiplicadora que habrá de conectarse en serie con el voltímetro
se calcula mediante
30.9. Demuestre por medio de diagramas cómo deben conectarse
un amperímetro un voltímetro en un circuito. Compare las resistencias de los
aparatos.
30.10. Comente sobre el error que se produce cuando un amperímetro
es insertado en un circuito eléctrico. ¿Cómo se reduce ese error?
30.11. Comente acerca del error ocasionado por la inserción de
un voltímetro en un circuito. ¿Cómo se reduce este error?
30.12. Se conecta un voltímetro a una batería y se efectúa la
lectura. Una caja de resistencias de precisión se incorpora entonces al
circuito y se ajusta hasta que la lectura del voltímetro muestra la mitad del
valor que la lectura anterior. Demuestre que la resistencia del voltímetro debe
ser igual a la resistencia añadida. (Esto se conoce como el método de la
desviación media para determinar la resistencia de un voltímetro.)
30.13. Explique qué sucede cuando, por error, se conecta en
serie un voltímetro en un circuito. ¿Qué ocurre cuando un amperímetro se
conecta erróneamente en paralelo?
30.14. Escriba un resumen breve sobre los temas siguientes:
a. galvanómetro balístico
b. óhmetro
c. dinamómetro
d. voltímetro
30.15. Trace una gráfica que muestre el momento de torsión
en función del tiempo para un motor de cd de una sola espira.
Problemas
Sección 30.1 Fuerza
momento de torsión sobre una espira
30.1. Una espira rectangular de alambre tiene un área de 30
cm2 y está colocada de modo
que su plano sea paralelo a un campo magnético de 0.56 T. ¿Cuál es la magnitud
del momento de torsión resultante si la espira conduce una corriente de 15 A?
Resp. 0.0252 N. m
30.2. Una bobina de alambre tiene 100 vueltas, cada una con
un área de 20 cm-. La bobina puede girar libremente dentro de un campo de 4.0
T. ¿Cuánta corriente se requiere para producir un momento de torsión máximo de
2.30 N . m?
30.3. Una espira rectangular de alambre de 6 cm de ancho 10
cm de largo se coloca de modo que su plano sea paralelo a un campo magnético de
0.08 T. ¿ Cuál es la magnitud del momento de torsión resultante sobre la espira
si ésta conduce una corriente de 14.0 A?
Resp. 6.72 x10- 3 N . m
30.4. Una espira rectangular de alambre tiene un área de
0.30 m2. El plano de la espira forma un ángulo de 30° con un campo
magnético de 0.75 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si la
corriente es de7.0A?
30.5. Calcule la densidad de flujo magnético necesaria para
impartir un momento de torsión de 0.5 N . m a una bobina de 100 vueltas cuando
su plano es paralelo al campo. El área de cada vuelta es de 84 cm- y la
corriente de 9.0 A.
Resp. 66.1 mT
30.6. ¿Cuánta corriente se necesita para producir un momento
de torsión máximo de 0.8 N . m en un solenoide que tiene 800 vueltas de 0.4 m2
de área? La densidad de flujo es de 3.0 mT. ¿Cuál es la posición del solenoide
dentro del campo?
30.7. El eje de un solenoide que tiene 750 vueltas de
alambre forma un ángulo de 34° con un campo de 5 mT. ¿Cuál es la corriente si
el momento de torsión es de 4.0 N· m en ese ángulo? El área de cada vuelta de
alambre es de 0.25 m2
Resp. 7.63 A
Sección 30.3 El
galvanómetro, Sección 30.4 El voltímetro de cd y Sección 30.5 El amperímetro
30.8. La bobina de un galvanómetro de 50 mm X 120 mm está
montada dentro de un campo magnético radial constante de 0.2 T. Si la bobina
tiene 600 vueltas, ¿cuánta corriente se necesita para desarrollar un momento de
torsión de 3.6 X 10- 5 N m?
30.9. Un galvanómetro tiene una sensibilidad de 20 ¡.por
cada división de la escala. ¿Cuánta corriente se requiere para producir una
desviación de toda la escala del instrumento, con 25 divisiones a cada lado de
la posición de equilibrio?
Resp. 500
30.10. Un
galvanómetro tiene una sensibilidad de 15 ¡.por cada división de la escala.
¿Cuántas divisiones de la escala quedarán cubiertas por la desviación de la
aguja cuando la corriente sea de 60 ¡.LA?
30.11. Un voltímetro requiere 0.02 mA para tener una desviación
de toda la escala a 50 V. (a) ¿Cuál es la resistencia del voltímetro? (b) ¿
Cuál es la resistencia por volt?
Resp. 2.50 Mfl, 50
kfllV
*30.12. En el caso del voltímetro del problema 30.11, ¿qué
resistencia multiplicadora debe usarse para convertir ese aparato en un
instrumento capaz de leer una escala completa de 150 V?
*30.13. La bobina de un galvanómetro se quema si circula por
ella una corriente mayor de 40 mA. Si la resistencia de la bobina es 0.5 n,
¿qué resistencia en derivación será necesario agregar para permitir la medición
de 4.00 A?
Resp. 5.05 mn
*30.14. Una corriente de sólo 90 producirá una desviación de
toda la escala en un voltímetro diseñado para una lectura de 50 mV en toda su
escala. (a) ¿Cuáles la resistencia del aparato? (b) ¿Qué resistencia
multiplicadora se requiere para permitir la medición de 100 mV en toda la
escala?
*30.15. Un amperímetro que tiene una resistencia de 0.10 n
se conecta a un circuito e indica una corriente de 1OA en toda la escala.
Entonces se conecta una derivación que tiene una resistencia de 0.01 na través
de las terminales del instrumento. ¿Cuánta corriente deberá conducir el nuevo
circuito para producir una desviación de toda la escala en el amperímetro?
Preguntas de
reflexión critica
30.29. Considere la espira rectangular de 60 vueltas de alambre
de 4 por 6 cm de la figura 30.10. El plano de la espira forma un ángulo de 40°
con un campo magnético B de 1.6 T cuya dirección coincide con el eje x. La
espira puede girar libremente sobre el eje y la corriente que circula por la
bobina en el sentido de las manecillas del reloj es de 6.0 A. ¿Cuál es el momento
de torsión y girará la espira hacia el eje x o hacia el eje z?
Resp. 1.06 N m, hacia el eje z
*30.30. Un voltímetro con una escala máxima de 150 V Y
resistencia total de 15000 O está conectado en serie con otro voltímetro de
escala máxima 100 V Y resistencia total de 20 000 O. ¿Qué lectura mostrará cada
uno de esos instrumentos cuando se conecten a través de una batería de 120 V Y
resistencia interna insignificante?
*30.31. El momento magnético es una
cantidad vectorial que, en el caso de una bobina de N vueltas de área A, tiene
una magnitud dada N/A, donde I es la corriente que pasa por la bobina. La
dirección del momento magnético es perpendicular al plano de la bobina en la
dirección determinada mediante la regla de la mano derecha (véase la figura
29.20). Si esa bobina se introduce en un campo B uniforme, demuestre que el
momento de torsión tiene una magnitud dada por:
Esto se escribe a veces como un producto vectorial (cruz) 'T=
¡.t X B.
*30.32. Compruebe la respuesta obtenida para el
problema30.19, aplicando la fórmula deducida en la pregunta anterior. No
confunda el ángulo () con el ángulo a que el plano de la espira forma el
campo B.
*30.33. El cableado interno de un voltimetro de tres escalas
se ilustra en la figura 30.11. El galvanómetro tiene una resistencia interna de
40 O y una corriente de 1.00 rnA produce una desviación de toda la escala. Encuentre
las resistencias R¡, Rz R3 que permitan usar el voltímetro para 10, 50 Y
100 V.
Resp. 9960 O, 49 960 O, 99 960 O
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